Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 4
Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 4 – Matematica
Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.
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Traccia del Quesito 4 del Questionario Maturità Scientifica 2017
Per sorteggiare numeri reali nell’intervallo [0; 2] viene realizzato un generatore di numeri casuali che fornisce numeri distribuiti, in tale intervallo, con densità di probabilità data dalla funzione:
i. Quale sarà il valore medio dei numeri generati?
ii. Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 4/3 ?
iii. Qual è la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di 1?
Svolgimento:
Questo quarto quesito del questionario della maturità scientifica 2017, necessita di ricordare la definizione di densità di probabilità f(x) di una variabile casuale continua X che è utilizzata per determinare la probabilità che appunto X appartenga a un dato intervallo:
b
P(a≤X≤b)=∫f(x)dx
a
Il primo sotto-quesito ci richiede il calcolo del valore medio dei numeri generati:
b
μ(X) = ∫x f(x)dx
a
che particolarizzata diventa:
2
μ(X) = ∫ x [(3/2)x2-(3/4)x3]dx =
0
2
= ∫ [(3/2)x3-(3/4)x4]dx =
0
2
= [(3/2)(1/4)x4 – (3/4)(1/5) x5]dx =
0
2
= [(3/8)x4 – (3/20) x5]dx =
0
2
= [(3/8)x4 – (3/20) x5]dx =
0
=(3/8)16 – (3/20)32 = 6/5
Il secondo sotto-quesito richiede la probabilità di estrarre il numero 4/3 al primo colpo. Ci viene in aiuto la definizione vista in precedenza di densità di probabilità. Il fatto che sia richiesto “al primo colpo” è matematicamente ininfluente, anche perchè se non fosse al primo colpo significherebbe che potrebbero essere possibili altri valori e non solo quello desiderato. Si tratta di particolarizzare per un solo valore c:
b
P(a≤X≤b)=∫f(x)dx
a
c
P(c≤X≤c)=P(X=c)=∫f(x)dx
c
4/3
P(X=4/3) = ∫[(3/2)x2-(3/4)x3]dx =0
4/3
che, ovviamente, essendo gli estremi di integrazione uguali è nullo.
Il terzo sotto-quesito richiede infine di calcolare la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di 1. Il fatto che sia richiesto “al secondo colpo” è matematicamente ininfluente. Sempre dalla definizione di probabilità e ricordando che l’intervallo in cui opera la densità di probabilità è [0,2], si ha:
b
P(a≤X≤b)=∫f(x)dx
a
1
P(0≤X≤1)=∫[(3/2)x2-(3/4)x3]dx =
0
1
= [(3/2)(1/3)x3 – (3/4)(1/4) x4]dx =
0
1
= [½x3 – (3/16) x4]dx =
0
=(1/2)-(3/16)= 5/16 =31,25%
Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.
- Vai al Questionario – Quesito 1 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 2 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 3 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 4 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 5 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 6 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 7 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 8 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 9 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 10 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 1 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 2 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 3 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 4 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 1 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 2 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 3 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 4 – 2017
- La densità di probabilità (Wikipedia)