Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 4


Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





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Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 4 – Matematica

Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.

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Traccia del Quesito 4 del Questionario Maturità Scientifica 2017

Per sorteggiare numeri reali nell’intervallo [0; 2] viene realizzato un generatore di numeri casuali che fornisce numeri distribuiti, in tale intervallo, con densità di probabilità data dalla funzione:

Densità di Probabilità Questionario Quesito 4 Maturità Scientifica 2017

i. Quale sarà il valore medio dei numeri generati?
ii. Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 4/3 ?

iii. Qual è la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di 1?

Maturità Scientifica 2017 - Questionario - Quesito 4

Maturità Scientifica 2017 – Questionario – Quesito 4

Svolgimento:

Questo quarto quesito del questionario della maturità scientifica 2017, necessita di ricordare la definizione di densità di probabilità  f(x) di una variabile casuale continua X che è utilizzata per determinare la probabilità che appunto X appartenga a un dato intervallo:

                   b
P(a≤X≤b)=∫f(x)dx
                   a

Il primo sotto-quesito ci richiede il calcolo del valore medio dei numeri generati:

             b
μ(X) = ∫x f(x)dx
           a

che particolarizzata diventa:

            2
μ(X) = ∫ x [(3/2)x2-(3/4)x3]dx = 
           0

    2
= ∫ [(3/2)x3-(3/4)x4]dx = 
   0

                                                        2
=  [(3/2)(1/4)x– (3/4)(1/5) x5]dx = 
                                                        0

                                        2
=  [(3/8)x– (3/20) x5]dx = 
                                        0

                                       2
=  [(3/8)x– (3/20) x5]dx = 
                                       0

=(3/8)16 – (3/20)32 = 6/5

Il secondo sotto-quesito richiede la probabilità di estrarre il numero 4/3 al primo colpo. Ci viene in aiuto la definizione vista in precedenza di densità di probabilità. Il fatto che sia richiesto “al primo colpo” è matematicamente ininfluente, anche perchè se non fosse al primo colpo significherebbe che potrebbero essere possibili altri valori e non solo quello desiderato. Si tratta di particolarizzare per un solo valore c:

                   b       
P(a≤X≤b)=∫f(x)dx 
                   a       

                                   c
 P(c≤X≤c)=P(X=c)=∫f(x)dx 
                                  c

                              4/3
P(X=4/3) = ∫[(3/2)x2-(3/4)x3]dx =0
                             4/3

che, ovviamente, essendo gli estremi di integrazione uguali è nullo.

Il terzo sotto-quesito richiede infine di calcolare la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di 1. Il fatto che sia richiesto “al secondo colpo” è matematicamente ininfluente. Sempre dalla definizione di probabilità e ricordando che l’intervallo in cui opera la densità di probabilità è [0,2], si ha:

                   b
P(a≤X≤b)=∫f(x)dx
                   a

                   1
P(0≤X≤1)=∫[(3/2)x2-(3/4)x3]dx =
                   0

                                                     1
=  [(3/2)(1/3)x– (3/4)(1/4) x4]dx = 
                                                     0

                               1
=  [½x– (3/16) x4]dx = 
                               0

=(1/2)-(3/16)= 5/16 =31,25%

Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.



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