Maturità Scientifica 2017 – Problema 2 – Quesito 3
Maturità Scientifica 2017 – Problema 2 – Quesito 3 – Matematica
Una serie di problemi di matematica delle Prove di Maturità del Liceo Scientifico risolti durante le ripetizioni date a studenti. Maturità Scientifica 2017 è la raccolta delle tracce 2017 e dello svolgimento dei relativi problemi di difficoltà alta, sia per ragionamenti e competenze necessarie che per via del tempo di svolgimento. A questo link la traccia completa in pdf.
[el58862bfc101c9]
Traccia del Problema 2 della Maturità Scientifica 2017 – Quesito 3
Consideriamo la funzione f : R → R , periodica di periodo T=4 il cui grafico, nell’intervallo [0;4], è il seguente:
Come si evince dalla Figura 1, i tratti OB, BD, DE del grafico sono segmenti i cui estremi hanno coordinate:
O(0; 0), B(1; 1), D(3; −1), E(4; 0).
Quesito 3: Considerando ora le funzioni: f2(x) e s2(x), discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o in diminuzione) dei 3 valori di probabilità determinati al punto precedente.
Svolgimento:
Questo quesito richiede di riprendere il precedente e di elevare al quadrato le funzioni:
f(x) = x
s(x)=sen(½πx) ottenendo cosi:
f2(x)=x2
s2(x)=sen2(½πx).
In pratica si ottiene una parabola, con vertice in O e un seno al quadrato. Per quanto riguarda la parabola, essa passa sia per O che per B, ma sotto la diagonale del quadrato, in quanto si tratta di valori di x tutti positivi e inferiori a 1, valori che elevati al quadrato, diventano ancora più piccoli; ad esempio il quadrato di 0,5 è 0,25 e cosi via… Si può subito dire che l’area A3 è diminuita (e quindi anche la probabilità P3(A3)). Per quanto riguarda il seno al quadrato, i valori del seno variano anch’essi tra 0 e 1, per cui al quadrato la funzione sarà “sotto” il grafico del seno originale, pur passando sempre per O e B. Questo significa che A1 e P1(A1) saranno cresciute.
Resta da chiarire cose succede all’area A2 e a P2(A2). Poichè non riusciamo a fare un ragionamento qualitativo, si passa al ragionamento analitico, calcolando A2=Asenq – A3; che ci confermerà anche quanto affermato in precedenza.
A2= Asenq – A3
1 1
A3= ∫ x2 dx = [x3/3] = 1/3 =0,333
0 0
quindi A3 è diminuita (prima era: 0,500).
1
Asenq= ∫ sen2(½πx) dx
0
ricordando che:
sen2(α/2) = (1 – cos α)/2 →
sen2((πx)/2) = (1 – cos(πx))/2
1
Asenq= ∫ (1 – cos(πx))/2 dx =
0
1 1
=½ ∫ dx – ½ ∫cos(πx)) dx =
0 0
1 1
=½[ x] – ½ [sen(πx))]/π =
0 0
=½ – ½(0/π) = 0,500
quindi:
A2= 0,500 – 0,333 = 0,167
A2 quindi è aumentata (prima era 0,137).
Infine A1, per differenza è
A1=Aq-A2-A3
A1=1,000-0,333 – 0,167=0,500
A1 è quindi aumentata (prima era:0,363)
Le nuove probabilità quindi sono:
P1(A1)=0,500
P2(A2)=0,167
P3(A3)=0,333
Link per approfondire la prova di maturità scientifica 2017, matematica.
- Vai al Questionario – Quesito 1 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 2 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 3 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 4 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 5 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 6 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 7 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 8 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 9 – 2017
- Vai al Questionario – Quesito 10 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 1 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 2 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 3 – 2017
- Vai al Problema 1 – Quesito 4 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 1 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 2 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 3 – 2017
- Vai al Problema 2 – Quesito 4 – 2017
- Funzioni periodiche (wikipedia)
- Nozioni base di Probabilità