Circonferenza P071 – Problemi di Geometria Euclidea


Circonferenza P071 - Problemi risolti di Geometria Euclidea Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Circonferenza P071 è ...




Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni di matematica: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Per scuole medie inferiori e superiori.





Autore articolo:



Circonferenza P071 – Problemi risolti di Geometria Euclidea

Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Circonferenza P071 è un problema di difficoltà medio-alta (se non altro per la sua lunghezza), preso dal testo edito da Zanichelli.

Informazione

Hai necessità di lezioni private? Vuoi la spiegazione di un esercizio? Vuoi qualcuno che ti faccia i compiti per dopodomani? Contatta Romoletto Blog per maggiori informazioni!


Traccia del problema sulla Circonferenza P071

Le corde congruenti AB e PQ di una circonferenza di centro C si intersecano in O. Dimostra che il punto O divide le corde in due coppie di segmenti rispettivamente congruenti.

(fonte: Zanichelli – Matematica)

Ipotesi:

  • AB ≅ PQ
  • O punto di intersezione, che forma i segmenti: AO, OB e PO, OP.

Tesi:

AOPO ;  OBOP

Dimostrazione:

Fase 1-2: Disegniamo la circonferenza di centro C e le corde AB e PQ. Segniamo anche il punto di intersezione O. A questo punto uniamo gli estremi delle corde con il centro C, ottenendo i triangoli isosceli ABC e PQC. Notare che AC,BC,PC,PQ sono tutti raggi della circonferenza. Segniamo anche le intersezioni D ed E. I triangoli ottenuti sono tra loro congruenti, per il terzo criterio di congruenza dei triangoli in quanto:

  1. AC≅PC in quanto raggi della stessa circonferenza
  2. BC≅CQ in quanto raggi della stessa circonferenza
  3. AB≅PQ per ipotesi
Circonferenza P071 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -01- Problemi di Geometria Euclidea



Fase 3: Questo ci permette di dire che anche gli angoli sono tra loro congruenti, in particolare gli angoli ACB ≅ PCQ. Notare che alla stessa conclusione si arriva dicendo che gli angoli al vertice di corde congruenti di una stessa circonferenza sono congruenti. Quindi i seguenti angoli sono: A≅B≅P≅Q.

Circonferenza P071 -02- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -02- Problemi di Geometria Euclidea

A questo punto, considerando gli angoli ACP e BCQ questi sono tra loro congruenti in quanto, preso l’angolo PCB si ha:

  • ACP ≅ ACB – PCB   e anche:
  • BCQ ≅ PCQ – PCB , da cui sottraendo membro a membro si ottiene:
  • ACP – BCQ ≅ (ACB-PCQ) -PCB+PCB, ovvero:
  • ACP – BCQ ≅ 0 e quindi
  • ACP ≅ BCQ

Considerando i triangoli ACD e ECQ possiamo affermare che sono tra loro congruenti per il secondo criterio di congruenza, in quanto:

  1. AC ≅ CQ in quanto raggi della stessa circonferenza
  2. L’angolo inQ come dimostrato sopra.
  3. L’angolo ACP ≅ BCQ come appena dimostrato.
Circonferenza P071 -03- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -03- Problemi di Geometria Euclidea

Fase 4-5: Dalla congruenza dei triangoli ACD e ECQ possiamo affermare la congruenza degli angoli ADC ≅ CEQ. Notiamo poi che  ADC ≅ PDB e CEQ ≅ PEB in quanto angoli opposti al vertice (rispettivamente vertice D ed E). Quindi sono tutti congruenti: ADC ≅ PDB ≅ CEQ ≅ PEB. Infine gli angoli POA e BOQ sono a loro volta congruenti in quanto opposti al vertice O :  POA  ≅ BOQ. Considerando poi i lati DC e EC si ha: DCEC.

Circonferenza P071 -04- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -04- Problemi di Geometria Euclidea



Fase 6: Consideriamo ora i segmenti PD e BE; possiamo scrivere senz’altro che:

  • PD ≅ PC – DC
  • BE ≅ BC – EC, sottraendo menbro a membro:
  • PDBE ≅ (PCBC) – DC + EC
  • PDBE ≅ 0
  • PD ≅  BE

Questo ci permette di applicare ai triangoli POD e BOE il secondo criterio di congruenza:

  1. PD ≅  BE, come appena dimostrato;
  2. PDB ≅ PEB come dimostrato in precedenza;
  3. P ≅ B come dimostrato in precedenza.

In particolare sono congruenti OBOP. Poi per differenza ricordando che:

  • AO ≅  AB – OB e che
  • QO PQOP, sottraendo membro a membro si ha:
  • AO ≅ (ABPQ) – OB + OP
  • AOQO ≅ 0
  • AO ≅ QO

Quindi AO≅QO e  OBOP

C.V.D.

Nota: ovviamente questo può essere considerato solo uno dei tanti possibili procedimenti per raggiungere la soluzione.

Link utili:






Random Post

Anello, anelli – Interpretazione dei sogni

L’ Anello e il sogno: interpretazione, significato e numeri associati. L’ anello è un antico simbolo dell’infinito e dell’inviolabilità delle promesse. La sua comparsa in u...

Vai al post...

PREVISIONE LOTTO n° 53 di 150 per SABATO 8 APRILE 2017

PREVISIONE LOTTO n° 53 di 150 per SABATO 8 APRILE 2017 Esito della previsione precedente: 2)FIRENZE: Estratto + 1 ambetto; G|GENOVA: 50euro. Previsione “beta V3” test precedente: 1)BARI...

Vai al post...

Confetti – Interpretazione dei sogni

Sognare confetti bianchi, confetti rosa, confetti dorati, confetti rossi, confetti azzurri. Il confetti sono costituiti essenzialmente da una mandorla, un pistacchio o una nocciola, ricoperti di zuc...

Vai al post...

Pomodori – Interpretazione dei sogni

I pomodori nei sogni: significati, interpretazioni e numeri della cabala associati. I pomodori entrano nell’alimentazione umana e nelle varie ricette di cucina ormai quasi quotidianamente: una b...

Vai al post...
Disclaimer:


Questo blog NON è un prodotto editoriale ai sensi della legge n° 62 del 7 marzo 2001. Le immagini tratte da internet che possano violare i diritti di autore, previa comunicazione, attraverso la sezione -contatti-, verranno prontamente rimosse o sostituite.

Copyright:


I contenuti presenti su ROMOLETTO BLOG dei quali è autore il proprietario del blog non possono essere copiati, riprodotti, redistribuiti perché appartenenti all autore stesso. Si vieta la copia e la riproduzione dei contenuti in qualsiasi modo o forma. Si vieta altresì la pubblicazione e la redistribuzione dei contenuti non autorizzata espressamente dell autore.


Copyright © 2011 / 2017 - ROMOLETTO BLOG - All Right Reserved

IngAC

Informazioni su Romoletto

Ingegnere Civile, Blogger, Programmatore VB.NET, Lezioni private per scuole medie inferiori e superiori. Per contattarmi scorri la home fino in fondo e vai al form -Contatti-

Navigazione per Articoli della stessa Categoria