Circonferenza P071 – Problemi di Geometria Euclidea


Categoria dell'articolo: Matematica

Lezioni e ripetizioni di matematica, analisi matematica, geometrica analitica ed euclidea, equazioni, disequazioni, logaritmi, goniometria e trigonometria, limiti, derivate, studio di funzione, integrali: teoria, esempi, problemi ed esercizi svolti. Tracce di maturità scientifica svolte. Per scuole medie inferiori e superiori.





Articolo pubblicato da:

Condividi articolo:

Circonferenza P071 – Problemi risolti di Geometria Euclidea

Una serie di problemi di geometria euclidea risolti durante le ripetizioni date a studenti di Liceo Scientifico, presi da vari testi scolastici. Circonferenza P071 è un problema di difficoltà medio-alta (se non altro per la sua lunghezza), preso dal testo edito da Zanichelli.

Informazione

Hai necessità di lezioni private? Vuoi la spiegazione di un esercizio? Vuoi qualcuno che ti faccia i compiti per dopodomani? Contatta Romoletto Blog per maggiori informazioni!


Traccia del problema sulla Circonferenza P071

Le corde congruenti AB e PQ di una circonferenza di centro C si intersecano in O. Dimostra che il punto O divide le corde in due coppie di segmenti rispettivamente congruenti.

(fonte: Zanichelli – Matematica)

Ipotesi:

  • AB ≅ PQ
  • O punto di intersezione, che forma i segmenti: AO, OB e PO, OP.

Tesi:

AOPO ;  OBOP

Dimostrazione:

Fase 1-2: Disegniamo la circonferenza di centro C e le corde AB e PQ. Segniamo anche il punto di intersezione O. A questo punto uniamo gli estremi delle corde con il centro C, ottenendo i triangoli isosceli ABC e PQC. Notare che AC,BC,PC,PQ sono tutti raggi della circonferenza. Segniamo anche le intersezioni D ed E. I triangoli ottenuti sono tra loro congruenti, per il terzo criterio di congruenza dei triangoli in quanto:

  1. AC≅PC in quanto raggi della stessa circonferenza
  2. BC≅CQ in quanto raggi della stessa circonferenza
  3. AB≅PQ per ipotesi
Circonferenza P071 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -01- Problemi di Geometria Euclidea

Fase 3: Questo ci permette di dire che anche gli angoli sono tra loro congruenti, in particolare gli angoli ACB ≅ PCQ. Notare che alla stessa conclusione si arriva dicendo che gli angoli al vertice di corde congruenti di una stessa circonferenza sono congruenti. Quindi i seguenti angoli sono: A≅B≅P≅Q.

Circonferenza P071 -02- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -02- Problemi di Geometria Euclidea

A questo punto, considerando gli angoli ACP e BCQ questi sono tra loro congruenti in quanto, preso l’angolo PCB si ha:

  • ACP ≅ ACB – PCB   e anche:
  • BCQ ≅ PCQ – PCB , da cui sottraendo membro a membro si ottiene:
  • ACP – BCQ ≅ (ACB-PCQ) -PCB+PCB, ovvero:
  • ACP – BCQ ≅ 0 e quindi
  • ACP ≅ BCQ

Considerando i triangoli ACD e ECQ possiamo affermare che sono tra loro congruenti per il secondo criterio di congruenza, in quanto:

  1. AC ≅ CQ in quanto raggi della stessa circonferenza
  2. L’angolo inQ come dimostrato sopra.
  3. L’angolo ACP ≅ BCQ come appena dimostrato.
Circonferenza P071 -03- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -03- Problemi di Geometria Euclidea

Fase 4-5: Dalla congruenza dei triangoli ACD e ECQ possiamo affermare la congruenza degli angoli ADC ≅ CEQ. Notiamo poi che  ADC ≅ PDB e CEQ ≅ PEB in quanto angoli opposti al vertice (rispettivamente vertice D ed E). Quindi sono tutti congruenti: ADC ≅ PDB ≅ CEQ ≅ PEB. Infine gli angoli POA e BOQ sono a loro volta congruenti in quanto opposti al vertice O :  POA  ≅ BOQ. Considerando poi i lati DC e EC si ha: DCEC.

Circonferenza P071 -04- Problemi di Geometria Euclidea

Circonferenza P071 -04- Problemi di Geometria Euclidea

Fase 6: Consideriamo ora i segmenti PD e BE; possiamo scrivere senz’altro che:

  • PD ≅ PC – DC
  • BE ≅ BC – EC, sottraendo menbro a membro:
  • PDBE ≅ (PCBC) – DC + EC
  • PDBE ≅ 0
  • PD ≅  BE

Questo ci permette di applicare ai triangoli POD e BOE il secondo criterio di congruenza:

  1. PD ≅  BE, come appena dimostrato;
  2. PDB ≅ PEB come dimostrato in precedenza;
  3. P ≅ B come dimostrato in precedenza.

In particolare sono congruenti OBOP. Poi per differenza ricordando che:

  • AO ≅  AB – OB e che
  • QO PQOP, sottraendo membro a membro si ha:
  • AO ≅ (ABPQ) – OB + OP
  • AOQO ≅ 0
  • AO ≅ QO

Quindi AO≅QO e  OBOP

C.V.D.

Nota: ovviamente questo può essere considerato solo uno dei tanti possibili procedimenti per raggiungere la soluzione.

Link utili:



Random Post

Morbillo – Interpretazione dei sogni

Morbillo - Interpretazione dei sogni (D. Cosola La vaccinazione nelle campagne, 1894)

Sognare di avere il morbillo, di vedere qualcuno col morbillo: significati, interpretazioni, simbologia e numeri della cabala associati al sogno. Il morbillo è malattia infettiva causata da un virus....

Vai al post...

Borse di studio presso ICE (scad.4 aprile)

Agenzia ICE

Borse di studio presso ICE (scad.4 aprile 2011) Concorso, per titoli ed esami, a tre borse di studio per attivita’ di ricerca in economia internazionale presso l’Area studi, ricerche  e s...

Vai al post...

Correre – Interpretazione dei sogni

Sognare di correre

Sognare di correre,  scappare, o fare una corsa a piedi, ecc Nei sogni il correre generalmente è un simbolo tradizionale di salute e vitalità oltre ad essere un mezzo di fuga da un  pericolo. Cos...

Vai al post...

PUBBLICITÀ



Retta R103 - Problemi di Geometria Analitica. Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante
Retta R141 - Problemi di Geometria Analitica. Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante le
Retta R137 - Problemi di Geometria Analitica. Una serie di problemi di geometria analitica risolti durante
Disclaimer:


Questo blog NON è un prodotto editoriale ai sensi della legge n° 62 del 7 marzo 2001. Le immagini tratte da internet che possano violare i diritti di autore, previa comunicazione, attraverso la sezione -contatti-, verranno prontamente rimosse o sostituite.

Copyright:


I contenuti presenti su ROMOLETTO BLOG dei quali è autore il proprietario del blog non possono essere copiati, riprodotti, redistribuiti perché appartenenti all autore stesso. Si vieta la copia e la riproduzione dei contenuti in qualsiasi modo o forma. Si vieta altresì la pubblicazione e la redistribuzione dei contenuti non autorizzata espressamente dell autore.


Copyright © 2011 / 2017 - ROMOLETTO BLOG - All Right Reserved

IngAC

Informazioni su Romoletto

Ingegnere Civile, Blogger, Programmatore VB.NET, Lezioni private per scuole medie inferiori e superiori. Per contattarmi scorri la home fino in fondo e vai al form -Contatti-

Navigazione per Articoli della stessa Categoria